Moja matma Moja choroba Strona Główna

Funkcje kwadratowe

Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru x jest przyporządkowany dokładnie Jeden element ze zbioru y.

Wzór ogólny funkcji kwadratowej 

y=a²x+bx+c

Właściwości funkcji kwadratowych

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, składająca się z ramion i wierzchołka funkcji. 

a-Współczynnik decydujący o kierunku funkcji i monotoniczności.

 b- 

c- wyraz wolny, miejsce przecięcia funkcji z osiami oy. 

x- zmienna niezależna, argument funkcji

 y- zmienna zależna, wartośc funkcji.

2.a Miejsce zerowe funkcji w zależności od ∆.

 ∆=b²-4*a*c i wtedy w zależności od ∆. 

Jeżeli: 

∆<0 równanie sprzeczne, kończymy.

∆=0 równanie posiada jedno rozwiązanie: 

x=(-√∆)\2a 

∆>0 - równanie posiada dwa rozwiązania 

x₁=(-b-√∆)\2*a;

 x₂=(-b+√∆)\2*a

Współrzędne wierzchołka (p;q) 

gdzie:

 p= (-b)\2a lub (x₁+x₂)\2a odpowiada za ox poziom x , 

q=-∆\4a odpowiada za oy pion y

2b Monotoniczność funkcji w zależności od wspołczynnika a

 a>0 - Funkcja jest malejąca w przedziale (;p), funkcja jest rosnąca w przedziale (p;), funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów  z przedziału (;x₁)∪(x₂), funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału (x₁;x₂), funkcja przyjmuje wartośc minimum q dla argumentu równego p.zbiór wartości (q;).

 a<0 - Funkcja jest rosnąca w przedziale (;p), funkcja jest malejąca w przedziale (p;), funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów  z przedziału (;x₂)∪(x₂), funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziale (x₁;x₂), funkcja przyjmuje wartośc q maksimum dla argumentu p. zbiór wartości (;q).

2.c Punkty przecięcia z osiami

Przecięcie z osią ox(miejsca zerowe funkcji) punkty: (x₁;0), (x₂;0)

Przecięcie z osiami oy punkt (o;c)

2.d Funkcje w których przynajmniej jeden ze współczynników b lub c =0

Gdy b = 0 wierzchołek funkcji znajduje się na osi oy, jest to tak zwana funkcja parzysta f(x)=f(-x) czyli taka, w której przeciwne argumenty mają tą samą wartość. Gdy c = 0 jednym z miejsc zerowych funkcji jest punkt (0;0)

2.e Postacie funkcji kwadratowych.

Postać ogólna funkcji kwadratowej ax²+bx+c

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej a(x-x₁)(x-x₂)dla ∆=0 a(x-x₁)²

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej a(x-p)²+q

Wzory Viete'a

suma rozwiązań x₁+x₂=(-b/a) 

Iloczyn rozwiązań x₁*x₂=(c/a)

Do góry Strona Główna  Moja matma Moja choroba

Zadania

Zadanie1

Mając funkcję: x²-10x+4=0, określ przedziały monotoniczności, zbiór wartości i zapisz funkcje w trzech postaciach to jest ogólnej iloczynowej i monotonicznej.

Zadanie2

Dla jakich argumentów funkcja f(x)=-2x²-8x+6, przyjmuje wartośc (-18), oraz f(x)>(-18) i f(x)<(-18).

Zadanie3

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że ma ona wierzchołek o współrzędnych (3;1) i przechodzi przez punkt (5;-3), zapisz tą funkcję we wszystkich trzech postaciach: to jest ogólnej kanonicznej i iloczynowej, określ przedziały monotonicznośc funkcji, zbiór wartości oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Zadanie4

Czy wykresy funkcji f(x) i g(x) przecinają się, jeśli tak to w jakich punktach:

a)f(x)=x²; g(x)=4x 

b)f(x)=-1/2x²+2; g(x)=-3x+6  

c)-1/2x²+2x; g(x)=1\4x²-x 

d)f(x)=-2x²+8x-4; g(x)2x²

Zadanie5

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że suma jego miejsc zerowych wynosi 5, a iloczyn 6, ponad to przechodzi ona przez punkt (4;-6). Zapisz ten wzór w postaci ogólnej iloczynowej i kanonicznej.

Zadanie6

Oblicz: 

 a)Dlugość boków prostokąta wiedząc, że jeden z jego boków jet o 4 cm dłuższy od drugie i ma on pole 96 cm² 

b)Długość boków działki o powierzchni 6 arów wiedząc, że jeden z jego boków jest o 10m dłuższy od drugiego

Do góry Strona Główna  Moja matma Moja choroba