Strona Główna Funkcje wielomianowe Moja matma Moja choroba

Zadanie 4

a)Dla jakich argumentów zmiennej x funkcja f(x)= 3x⁴-5x³-5x²+5x+2 przyjmuje wartości dodatnie 

b)Dla jakich argumentów zmiennej  s funkcji f(s)= -s³+8s²-21s+10 przyjmuje wartości mniejsze od(-8)

a)Dla jakich argumentów zmiennej x funkcja f(x)= 3x⁴-5x³-5x²+5x+2 przyjmuje wartości dodatnie. Zapisujemy równanie

3x⁴-5x³-5x²+5x+2>0

Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego 2, które są potencjalnymi całkowitymi pierwiastkami równania.

1; (-1); 2; (-2)

Podstawiamy do wzoru funkcji i sprawdzamy, która z powyższych liczb może być pierwiastkiem całkowitym równania (warunek f(x)=0)

3*(1)⁴-5*(1)³-5*(1)²+5*(1)+2=3-5-5+5+2=0

Jednym z miejsc zerowych funkcji jest (1), stosujemy schemat Horrnera.

Podzieliliśmy właśnie schematem Horrnera wielomian 3x⁴-5x³-5x²+5x+2 przez dwumian (x-1) i otrzymaliśmy wielomian 3x³-2x²-7x-2. Wyrazem wolnym nowego wielomianu jest (-2) dzielniki wyrazu wolnego

1; (-1); 2 (-2)

Sprawdzamy, który z dzielników (-2) może być pierwiastkiem całkowitym wielomianu 3x³-2x²-7x-2

3*(1)³-2*(1)²-7*(1)-2=(-1)≠0

3*(-1)³-2(-1)²-7*(-1)-2=0

Dzieląc wielomian 3x³-2x²-7x-2 przez dwumian (x+1) otrzymujemy wielomian 3x²-5x-2, możemy teraz zastosować równanie kwadratowe.

Oznaczamy parametry a=3; b=(-5) c=(-2) i stosujemy równanie kwadratowe

∆=b²-4*a*c

Podstawiamy do wzoru.

∆=(-5)²-4*a*c

∆=25-4*3*(-2)=

∆=25-(-24)=

∆=49

√∆=√49

√∆=7

Podstawiamy do wzoru x₁ i x₂

x₁=(-b-√∆)/2*a

x₁=(-(-5)-7)/2*3

x₁=(5-7)/6

x₁=(-2)/6

x₁=(-1/3)

Obliczamy x₂

x₂=(-b+√∆)/2*a

x₂=(-(-5)+7)/2*a

x₂=(5+7)/6

x₂=12/6

x₂=2

Funkcja posiada pierwiastki: (-1); (-1/3), 1, 2. Teraz tą funkcję możemy zapisać w postaci iloczynowej, pamiętając, że współczynnik a=3

a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄)(x-x_n)

gdzie: x₁, x₂, x₃, x₄, x_n są pierwiastkami.

3(x+1)(x+1/3)(x-1)(x-2)

tworzymy tabelę

Rysujemy oś liczbową (Uwaga to co na osi liczbowej jest w czerwonych kółeczkach nie umieszczamy na osi liczbowej w rzeczywistości to jest tylko pomocnice.)

Funkcje zaczynamy rysować do góry, ponieważ współczynnik stojący przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

"2" jest pierwiastkiem jednokrotnym funkcji, nieparzystym, więc przecinamy oś ox.

"1" jest pierwiastkiem jednokrotnym, nieparzystym, dlatego przecinamy oś ox.

"(-1/3)" jest pierwiastkiem jednokrotnym, nieparzystym funkcji dlatego przecinamy oś ox.

(-1) jest pierwiastkiem jednokrotnym nieparzystym, dlatego przecina oś x

Teraz musimy rozpatrzyć korzystając z osi liczbowej dla jakich argumentów funkcja f(x)= 3x⁴-5x³-5x²+5x+2 przyjmuje wartości większe od 0

f(x)= 3x⁴-5x³-5x²+5x+2>0

(;-1)∪(-1/3;1)∪(2;)

Ten przykład możemy rozwiązać jeszcze na jeden sposób, rozkładając wyraz -5x² na dwa wyrazy -2x² i -3x².

3x⁴-5x³-2x²-3x²+5x+2

Następnie stworzymy dwa nawiasy o jednakowych wyrazach, a przed nimi wyłączymy czynniki.

x²(3x²-5x-2)-(3x²-5x-2)

Teraz powstanie iloczyn składający się z dwóch nawiasów. Pierwszy jest to nawias z wartością wspólną a drugi to suma współczynników wyłączonych przed nawias.

(x²-1)(3x²-5x-2)

Miejsca zerowe pierwszy nawias.

x²-1=0

x²=1

x=1 i x=(-1)

Do drugiego nawiasu musimy obliczyć równanie kwadratoweprametry: a=3 b=(-5) c=(-2)Obliczamy ∆

∆=b²-4*a*c

∆=(-5)²-4*3*(-2)

∆=25+24

√∆=√49

√∆=7

Obliczamy x₁

x₁=((-b)-√∆)/2*a

x₁((-(-5))-7)/2*3

x₁(5-7)/6

x₁=(-2)/6

x₁(-1/3)

Obliczamy x₂

x₂=((-b)+√∆)/2*a

x₂=(-(-5))+7)/2*3

x₂=(5+7)/2*3

x₂=12/6

x₂=2

Wykres, opis i tabela patrz wyżej.

b)Dla jakich wartości s funkcji f(x)= -s³+8s²-21s+10 przyjmuje wartości mniejsze od(-8)Zapisujemy równanie:

-s³+8s²-21s+10<(-8)

Przenosimy wszystko na lewą stronę a po prawej piszemy 0

-s³+8s²-21s+10+8<0

Redukujemy

-s³+8s²-21s+18

Znajdujemy pierwiastki wielomianu: f(x) -s³+8s²-21s+18 warunek f(x)=0

Dzielniki wyrazu wolnego 18 potencjalne pierwiastki wielomianu, warunek f(x)=0:

1, (-1), 2, (-2), 3, (-3), 6 (-6), 9 (-9), 18, (-18)

Podstawiamy do wzoru wielomianu f(x)= -s³+8s²-21s+18 i sprawdzamy, które z nich są pierwiastkami wielomianu.

-(1)³+8*(1)²-21*(1)+18=(-1)+8-21+18=(-22)+26=4≠0

-(-1)³+8*(-1)²-21*(-1)+18=-(-1)+8+21+18=1+8+21+18=48≠0

-(2)³+8*(2)²-21*(2)+18=-(8)+8*4-42+18=-8+32-42+18=0

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu: -s³+8s²-21s+18

	-1	8	-21	18
2	-1	2*(-1)+8=(-2)+8=6	2*6-21=12-21=(-9)	2*(-9)+18=(-18)+18=0

Dzieląc wielomian -s³+8s²-21s+18 przez dwumian (s-2) otrzymujemy trójmian -s²+6s-9.Otrzymujemy więc równanie kwadratowe -s²+6s-9Parametry a=(-1); b=6; c=(-9)Obliczamy ∆:

∆=b²-4*a*c

∆=6²-4*(-1)*(-9)

∆=36-36=0

Obliczamy jeden podwójny pierwiastek ∆

x=-b/(2*a)

x=-6/2*(-1)=3

pierwiastkami równania są liczby "2" - pierwiastek jednokrotny i "3" - pieriwiastek dwukrotny.Teraz ten wielomian możemy zapisać w postaci iloczynowej, musimy pamiętać o minusie przed nawiasami.

a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x_n)

gdzie x₁,x₂,x₃x_n są pierwiastkami równania.

-(x-2)(x-3)(x-3)

Upraszczamy:

-(x-2)(x-3)²

Tworzymy tabelę

Rysujemy oś liczbową (Uwaga to co na osi liczbowej jest w czerwonych kółeczkach nie umieszczamy na osi liczbowej w rzeczywistości to jest tylko pomocnice.)

Wykres zaczynamy rysować od dołu ponieważ a<0

Nie przechodzimy na drugą stronę osi liczbowej ponieważ pierwiastek "3" jest pierwiastkiem dwukrotnym parzystym

Przechodzimy na drugą stronę wykresu ponieważ "2" jest pierwiastkiem jednokrotnym nieparzystym

Teraz korzystając z osi liczbowej musimy rozpatrzyć dla jakich wartości funkcja f(x)=-s³+8s²-21s+18<0

(2;3))∪(3;)

Do góry Strona Główna Funkcje wielomianowe Moja matma Moja choroba