Strona Główna Funkcje wielomianowe Moja matma Moja choroba

Zadanie2

Korzystając ze schematu Horrnera znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu i zapisz go w postaci iloczynowej.

a)x4-7x3+18x2-20x+8=0

b)x5+6x4+13x3+14x2+12x+8=0

c)4x4-28x3+57x2-36x=0

a)x4-7x3+18x2-20x+8=0

 współczynniki:  a4=1; a3=(-7); a2=18; a1= (-20);  a0 = 8 - wyraz wolny

 Dzielniki wyrazu wolnego 8:

1; (-1); 2; (-2); 4; (-4); 8; (-8) , któryś z tych dzielników będzie pierwiastkiem całkowitym wielomianu. Mnożymy potencjalny pierwiastek (pierwsza kolumna) * wartość z poprzedniej komórki + wartość współczynnika z tej samej kolumny co wypełniamy - końcowy wynik w ostatniej komórce = 0

1 -7 18 -20 8
1 1 1*1-7=1-7=(-6) 1*(-6)+18=(-6)+18=12 1*12-20=12-20=(-8) 1*(-8)+8=(-8)+8=0

Powstał nam nowy wielomian x3-6x2+12x-8 

współczynniki a3=1; a2=(-6); a1=12;  a0 =(-8) - wyraz wolny 

Dzielniki wyrazu wolnego (-8): 1; (-1); 2; (-2) 4; (-4) 8; (-8); - potencjalne pierwiastki całkowite wielomianu. Mnożymy potencjalny pierwiastek (pierwsza kolumna) * wartość z poprzedniej komórki + wartość współczynnika z tej samej kolumny co wypełniamy - końcowy wynik w ostatniej komórce = 0

1 1 -6 12 (-8)
1 1 1*1-6=1-6=(-5) 1*(-5)+12=(-5)+12=7 1*7-8=7-8=(-1)≠0
(-1) 1 (-1)*1-6=(-1)-6=(-7) (-1)*(-7)+12=7+12=19 (-1)*19-8=(-19)-8=(-27)≠0
2 1 2*1-6=2-6=(-4) 2*(-4)+12=(-8)+12=4 2*4-8=8-8=0

Powstaje nam równanie kwadratowe x2-4x+4=0

Współczynniki: a=1; b=(-4) c=4

∆=b2-4*a*c

∆=(-4)2-4*1*4

∆=16-16

∆=0

∆=0

x=-b\(2*a)

x=-(-4)\(2*1)

4/2=2

Wielomian posiada pierwiastki: 

1- pierwiastek jednokrotny

 2 - pierwiastek 3 krotny, z tym, że jeden pierwistek 2 wyszedł nam  z schematu horrnera, a podwójne 2 nam wyszło z równania kwadratowego.

 Postać iloczynowa wielomianu

(x-1)(x-2)(x-2)2=(x-1)(x-2)3

b)x5+6x4+13x3+14x2+12x+8

współczynniki a5=1; a4=6; a3=13; a2=14; a1=12; a0=8 - wyraz wolny

 Dzielniki wyrazu wolnego potencjalne pierwiastki wielomianu 1; (-1); 2; (-2); 4; (-4); 8; (-8). Mnożymy potencjalny pierwiastek (pierwsza kolumna) * wartośc z poprzedniej komórki + wartość współczynnika z tej samej kolumny co wypełniamy - końcowy wynik w ostatniej komórce = 0

1 6 13 14 12 8
1 1 1*1+6=1+6=7 1*7+13=7+13=20 1*20+14=20+14=34 1*34+12=34+12=46 1*46+8=46+8=54
(-1) 1 (-1)*1+6=(-1)+6=5 (-1)*5+13=(-5)+13=8 (-1)*8+14=(-8)+14=6 (-1)*6+12=(-6)+12=6 (-1)*6+8=(-6)+8=2≠0
2 1 2*1+6=2+6=8 2*8+13=16+13=29 2*29+14=58+14=72 2*72+12=144+12=156 2*156+8=312+8=320≠0
-2 1 (-2)*1+6=(-2)+6=4 (-2)*4+13=(-8)+13=5 (-2)*5+14=(-10)+14=4 (-2)*4+12=(-8)+12=4 (-2)*4+8=(-8)+8=0

Pierwiastkiem Wielomianu x5+6x4+13x3+14x2+12x+8=0

 jest (-2), wielomian jest podzielny przez dwumian (x+2).

Powstaje nam nowy wielomian x4+4x3+5x2+4x+4=0

 współczynniki a4=1; a3=4; a2=5; a1=4; a0=4

Dzielniki wyrazu wolnego 4 potencjalne pierwiastki wielomianu:

 1; (-1); 2; (-2); 4; (-4)

Mnożymy potencjalny pierwiastek (pierwsza kolumna) * wartość z poprzedniej komórki + wartość współczynnika z tej samej kolumny co wypełniamy - końcowy wynik w ostatniej komórce = 0

1 4 5 4 4
1 1 1*1+4=1+4=5 1*5+5=5+5=10 1*10+4=10+4=14 1*14+4=14+4=180≠0
-1 1 (-1)*1+4=(-1)+4=3 (-1)*3+5=(-3)+5=2 (-1)*2+4=(-2)+4=2 (-1)*2+4=(-2)+4=20≠0
2 1 2*1+4=2+4=6 2*6+5=12+5=17 2*17+4=34+4=38 2*38+4=76+4=800≠0
-2 1 (-2)*1+4=(-2)+4=2 (-2)*2+5=(-4)+5=1 (-2)*1+4=(-2)+4=2 (-2)*2+4=(-4)+4=0

Pierwiastkiem wielomianu x4+4x3+5x2+4x+4=0 jest (-2), wielomian jest podzielny przez dwumian (x+2).

Powstaje nam nowy wielomian: x3+2x2+x+2

Rozkład wielomianu na czynnika za pomocą wzorów skróconego mnożenia

x3+2x2+x+2=0

x2(x+2)+(x+2)

Zapisujemy jako iloczyn, w domyśle przed drugim nawiasem jest 1

(x2+1)(x+2)

Pierwiastki

x+2=0

x=(-2)

x2+1=0

x2=(-1)- równanie sprzeczne

Pierwiastki wielomianu z pierwszego Horrnera (-2) - (x+2);

Z drugiego Horrnera (-2) - (x+2);
Z trzeciego rozkładu jeden pierwiastek także (-2);  (x+2) i drugi składnik iloczynu jest równaniem sprzecznym x2=(-1) - x2<0 równanie sprzeczne.

Postać iloczynowa wielomianu

(x+2)(x+2)(x+2)(x2+1)=(x+2)3(x2+1)

c)4x4-28x3+57x2-36x=0

4x4-28x3+57x2-36x=0

Wyłączam x przed nawias

x(4x3-28x2+57x-36)=0

Jednym z pierwiastków wielomianu jest 0 i jest to pierwiatek jednokrotny

Powstaje nam nowy wielomian: 4x3-28x2+57x-36=0

 współczynniki: a3=4: a2=(-28); a2=57; a0=(-36) - wyraz wolny

Dzielniki wyrazu wolnego (-36) - potecjalne pierwiastki wielomianu:

 1; (-1); 2; (-2); 3; (-3) 4; (-4) 6; (-6) 12; (-12); 18; (-18) 36; (-36)

Mnożymy potencjalny pierwiastek (pierwsza kolumna) * wartość z poprzedniej komórki + wartość współczynnika z tej samej kolumny co wypełniamy - końcowy wynik w ostatniej komórce = 0

4 -28 57 -36
1 4 1*4-28=4-28=(-24) 1*(-24)+57=(-24)+57=33 1*33-37=33-36=(-3)≠0
(-1) 4 (-1)*4-28=(-4)-28=(-32) (-1)*(-32)+57=32+57=89 (-1)*89-36=(-89)-36=(-125)≠0
2 4 2*4-28=8-28=(-20) 2*(-20)+57=(-40)+57=17 2*17-36=34-36=(-2)≠0
(-2) 4 (-2)*4-28=(-8)-28=(-36) (-2)*(-36)+57=72+57=129 (-2)*129-36=(-258)-36-(-294)=≠0
3 4 3*4-28=12-28=(-16) 3*(-16)+57=(-48)+57=9 3*9-36=27-36=-9≠0
(-3) 4 (-3)*4-28=(-12)-28=(-40) (-3)*(-40)+57=120+57=177 (-3)*177-36=(-531)-36=(-567)≠0
4 4 4*4-28=16-28=(-12) 4*(-12)+57=(-48)+57=9 4*9-36=36-36=0

Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomian 4x3-28x2+57x-36, który jest podzielny przez dwumian (x-4). 

Powstaje nam równanie kwadratowe 4x2-12x+9=0 

współczynniki a=4; b=(-12) c=9

∆=b2-4*a*c

∆=(-12)2-4*4*9

∆=144-144=0

∆=0

Obliczamy równanie dla ∆=0

x=-b\(2*a)

x=-(-12)\(2*4)

x=12\8

x=1,5

1,5 jest pierwiastkiem równania kwadratowe 4x2 -12x+9=0 podzielnego przez dwumian (x-1,5). Wielomian 4x4-28x3+57x2-36x=0. 

Pierwiastkami tego wielomianu są:

0 - jednokrotny; (x-0) - jednokrotny

z horrnera pierwiastek = 4 - jednokrotny (x-4)

z równania kwadratowego pierwiastek 1,5  - dwukrotny  (x-1,5)2  

Do góry Strona Główna Funkcje wielomianowe Moja matma Moja choroba