Strona Główna  Moja matma Moja choroba

Trygonometria

1.Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

tangens x kąta S (tg x) jest to stosunek długości przyprostokątnej a leżącej na przeciwko kąta S do długości przyprostokątnej b leżącej przy kącie S; tg x= a:b.

cotangens x kąta (ctg x) S jest to stosunek długości przyprostokątnej b leżącej przy kącie S do długości przyprostokątnej a leżącej na przeciwko kąta S; ctg x= b:a.

sinus x kąta S (sin x) jest to stosunek długości przyprostokątnej a leżącej na przeciwko kąta S do długości przeciwprostokątnej c; sinx S =a:c.

cosinus x kąta S (cos x) jest to stosunek długości przyprostokątnej b do długości przeciwprostokątnej c; cos x S = b:c.

2.Zalerzności:
tg x=sin x ⁄cos x; ctg x=cos x ⁄sin x; sin x²+cos x²=1

3.Tabela miar podstawowych kątów:

w stopniach	0⁰	30⁰	45⁰	60⁰	90⁰	180⁰	270⁰	360⁰
w radianach	0	1/6π	1/4π	1/3π	1/2π	π	3/2π	2π
tg x	0	√(3)/3	1	√(3)	nie istnieje	0	nie istnieje	0
ctg x	nie istnieje	√(3)	1	√(3)/3	0	nie istnieje	0	nie istnieje
sin x	0	1/2	√(2)/2	√(3)/2	1	0	-1	0
cos x	1	√(3)/2	√(2)/2	1/2	0	-1	0	1

4.Rodzaje kątów:
a)Kąt dodatni, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.








b)Kąt ujemny zgodnie z ruchem wskazówek zegara.







5.Ćwiartki układu współrzędnych
OP dla każdej ćwiartki większe > 0; |OP|=√(x²+y²) - oczywiście punk P może być w dowolnym miejscu prostej k, a wartości poszczególnych funkcji się nie zmieniają.
a) I ćwiartka ("północny zachód")
x jest dodatni, y jest dodatni
tg= stosunek do dodatniego y do dodatniego x; tg=y/x czyli tg dodatni.
ctg = stosunek do dodatniego x do dodatniego y; ctg=x/y czyli ctg dodatni
sin = stosunek do dodatniego y do dodatniego |OP|; sin=y/|OP| czyli sin jest dodatni
cos = stosunek do dodatnie x do dodatniego |OP|; cox=x/|OP| czyli cos jest dodatni.
W I ćwiartce wszystkie są dodatnie





b)II ćwiartka ("północny wschód")
x jest ujemne, natomiast y dodatnie.
tg= stosunek dodatniego y do ujemnego x; tg= y/-x czyli tg jest ujemy.
ctg= stosunek ujemnego x do dodatniego y; ctg=-x/y czyli ctg jest ujemne.
sin= stosunek dodatniego y do dodatniego |OP|; sin=y/|OP| czyli sin jest dodatni.
cos= stosunek ujemnego x do dodatniego |OP|; cos=-x/|OP| czyli cos jest dodatni
W II dodatni jest tylko sinus




c)III ćwiartka ("południowy wschód")
x jest ujemne i y jest ujemne
tg= stosunek ujemnego x do ujemnego y tg= -y/-x, czylitg jest dodatni
ctg= stosunek ujemnego x i ujemenego y; ctg =-x/-y, czyli ctg jest dodatni
sin= stosunek ujemnego y do dodatniego |OP|; sin= -y/|OP|, czyli sin jest ujemny
cos = stosunek ujemnego x do dodatniego |OP|; cos=-x/|OP|, czyli cos jest ujemny
W III ćwiartce są dodatnie tangens, cotangens



d)IV ćwiartka ("południowy zachód") x jest dodatni y jest ujemy
tg = stosunek ujemnego y do dodatniego x; tg= -y/x, czyli tg jest ujemny
ctg= stosunek dodatniego x do ujemnego y; =x/-y czyli ctg jest ujemny
sin = stosunek ujemnego y do dodatniego |OP|; sin =-y/|OP|, czyli sin jest ujemny
cos = stosunek dodatniego x do dodatniego |OP|; cos = x/|OP|, czyli cos jest dodatni
W IV ćwiartce dodatni jest cosinus




6.Tabela zbiorcza wartości funkcji w poszczególnych ćwiartkach
(+) oznacza dodatni, (-) oznacza ujemny

w stopniach	0o - 90o	90o- 180o	180o - 270o	270o - 360o
w π	0 - 1/2π	1/1/2π - π	π - 3/2π	3/2π - 2π
ćwiartki	I	II	III	IV
tg	+	-	+	-
ctg	+	-	+	-
sin	+	+	-	-
cos	+	-	-	+

W pierwszej wszystkie są dodatnie
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens, cotangens
W czwartej cosinus

7.Właściwości i wykresy funkcji trygonometrycznych
Wszystkie wartości wyrażone są w stopniach, aby przemienić je na π należy stopnie podzielić na 180, literka "k" oznacza dowolną liczbę całkowitą
a)tangensoida
Okres podstawowy 180^o.
Funkcja tg przyjmuje te same wartości dla argumentów x +k*180^o. Funkcje, ma miejsca zerowe (przecięcie z osią ox) w punktach (0^o+ k*180^o;0), nie przyjmuje wartości dla 90^o+ k*180^o
Funkcja tangens jest rosnąca w przedziałach (-90^o+k*180^o;90^o+k*180^o) tzn. w bliskim prawostronnym sąsiedztwie asymptoty 90^o + k*180^o przyjmuje wartości mniejsze, niż w bliskim lewostronnym sąsiedztwie np. 89^o+k*180^o przyjmuje większą wartość
niż k* 180^o+181^o.Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów (-90^o+k*180^o;0^o+k*180^o), a wartości dodatnie dla argumentów (0^o+k*180^o;90^o+k*180⁰). Funkcja tangens jest funkcją nie parzystą, czyli przeciwnym argumentom przyporządkowane są przeciwne wartości (punkt symetrii początek układu współrzędnych punkt (0;0)). Przez argumenty dla których nie przyjmuje wartości czyli 90^o przechodzą wspomniane wcześniej asymptoty pionowe, (czarne pionowe linie) funkcją nie może ich "dotknąć" ani tym bardziej "przeciąć".

b)cotangensoida
Okres podstawowy 180^o.
Cotangens przyjmuje te same wartości dla argumentów x+k*180^o, funkcja ctg ma miejsce zerowe a dla argumentów (przecięcie z osią ox w punkcie) (0;90^o+k*180), nie przyjmuje wartości dla argumentów (0^o+k*180^o)
Funkcja ctg jest malejąca dla argumentów w przedziałach (0^o+k*180^o;180^o+k*180^o) przy czym należy pamiętać, że w prawostronnym najbliższym sąsiedztwie asymptoty 0^o+k*180^o przyjmuje wartości większe niż w lewostronnym sąsiedztwie np. 179^o+k*180^o przyjmuje wartość mniejszą niż 181^o+k*180^o.Ctg przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (0^o+k*180^o;90^o+k*180^o) a wartości ujemne dla argumentów z przedziału (90^o+k*180^o;180^o+k*180^o). Przez argumenty, 180^o+k*180^o przechodzą wspomniane wcześnie asymptoty pionowe czyli (czarne pionowe linie), których funkcja nie może "dotknąć a tym bardziej "przeciąć".

c)tangensoida i cotangensoida na jednym rysunku
Tangens jest odwrotnością cotangensa
tg=1/ctg
cotangens jest odwrotnością tangensa
ctg=1/tg
Funkcje tg i ctg przyjmują dla argumentów 45^o+k*180^o tą samą wartość równą 1.
Funkcje tg i ctg przyjmują dla argumentów 135^o+k*180^o tą samą wartość równą (-1).


d)Sinusoida
Okres podstawowy sinus 360^o
Funkcja sin jest nieparzysta czyli przeciwnym argumentom odpowiadają przeciwne wartości (punkt symetrii początek układu współrzędnych, punkt (0;0)) .Funkcja sin przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (0^o+k*360^o;180^o+k*360^o), sin przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziału (180^o+k*360^o;360^o+k*360^o).Funkcja sin przyjmuje te same wartości dodatnie dla argumentów x+k*360^o ∪ 180^o-x+k*360^o, funkcja przyjmuje te same wartości ujemne dla argumentów -x+k*360^o∪ 180^o+x+k*360^o. Funkcja sin jest rosnąca dla argumentów z przedziału (-90^o+k*360^o;90^o+k*360^o), funkcja jest malejąca dla argumentów z przedziału (90^o+k*360^o;270^o+k*360^o).Funkcja sinus ma miejsca zerowe w punktach (180^o+k*180^o;0) Funkcja sinus przyjmuje wartość największą równą 1 dla argumentu 90^o+k*360^o, a wartość najmniejszą (-1) dla argumentu 270^o+k*360^o. Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste (oś x) a zbiorem wartości (oś y) przedział: <-1;1>.

e)cosinusoida
Okres podstawowy cos 360^o
Funkcja cos jest parzysta czyli przeciwnym argumentom odpowiadają te same wartości (osią symetrii jest oś y). Funkcja cos przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału (-90^o+k*360^o;90^o+k*360^o) i wartości ujemne dla argumentów z przedziału (90^o+k*360^o;270^o+k*360^o), funkcja przyjmuje te same wartości dodatnie dla argumentów -x+k*360^o∪ x+k*360^o i te same wartości ujemne dla argumentów 180^o-x+k*360^o ∪ 180^o+x+k*360^o. Funkcja cos jest rosnąca dla argumentów z przedziału (-180^o+k*360^o;0^o+k*360^o), funkcja jest malejąca dla argumentów z przedziału (0^o+k*360^o;180^o+k*360^o). Funkcja cosinus ma miejsce zerowe w punktach (90^o+k*180^o). Funkcja cosinus przyjmuje wartość największą równą 1 dla argumentów 0^o+k*360^o a wartość najmniejszą dla argumentów 180^o+k*360^o. Dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste (oś x), a zbiorem wartości (oś y) przedział: <1;1>.

f)sinusoida i cosinusoida na jednym rysunku

Jak wynika z rysunku obie funkcje sinus i cosinus dla argumentów 25^o+k*360^o przyjmują tą samą wartość √(2)/2, a dla argumentów 225^o+k*360^o tą samą wartość -√(2)/2.
|sinus|=√(1-cosinus²)
|cosinus|=√(1-sinus²)
wartość bezwzględna sinus jest równa pierwiastkowi różnicy jeden i kwadratu wartości cosinus.
wartość bezwzględna cosinus jest równa pierwiastkowi różnicy jeden i kwadratu wartości sinus.

8.Wzory redukcyjne
Służą do redukowania dowolnego konta do 90^o (kąt dodatni) lub - 90^o (kąt ujemny)

sin(-α)= - sinα cos(-α)= cosα tg(-α)= - tgα ctg-(α)= - ctgα	sin(90o-α)= cosα cos(90o-α)= sinα tg(90o-α)= ctgα ctg(90o-α)= tgα	sin(90o+α)= cosα cos(90o+α)= - sinα tg(90o+α)= - ctgα ctg=(90o+α)= - tgα	sin(180o-α)= sinα cos(180o-α)= - cosα tg(180o-α)= - tgα ctg(180o-α= - ctgα
sin(180o+α)= - sinα cos(180o+α)= - cosα tg(180o+α)= tgα ctg(180o+α)= ctgα	sin(270o-α)= - cosα cos(270o-α)= - sinα tg(270o-α)= ctgα ctg(270o-α)=tgα	sin(270o+α)= - cosα cos(270o+α)= sinα tg(270o+α)= - ctgα ctg(270o+α)= - tgα	sin(360o-α)= - sinα cos(360o-α)= cosα tg(360o-α)= - tgα ctg(360o-α)= - ctgα

9.Przeksztalcanie wykresów funkcji
Wytłumaczymy to na przykładzie funkcji sinus, ale analogicznie to działa na pozostałych funkcjach tangens, cotangens, cosinus
- "a" oznacza pewne przesunięcie, zmiany przed nawiasem mają wpływ na zbiór wartości funkcji (oś oy), natomiast zmiany w nawiasie mają wpływ na dziedzinę funkcji (oś ox), z tym, że gdy zmiana się znajduje przed samym symbolem funkcji (po nawiasie) zmienia się jej okres, wszystkie poniższe zmiany można dowolnie łączyć tworząc nowe wykresy funkcji

a +(sin) oznacza przesunięcie wykresu funkcji sin o "a" jednostek w górę prostopadle do osi ox.
-a+(sin) - oznacza przesunięcie wykresu funkcji sin o "a" jednostek w dół prostopadle do osi ox.
-(sin) - oznacza obrót wykresu funkcji sin względem osi (ox) czyli te same argumenty przyjmują przeciwne wartości.
a*(sin) - oznacza zmianę zbioru wartości funkcji sin "a" razy.
-a*(sin) - oznacza obrót funkcji sin względem osi (ox) i zwiększenie jej wartości "a" razy.
(-sin) - oznacza obrót funkcji sin względem osi oy argumenty przeciwne przyjmują te wartości co argumenty pierwotne.
(a*sin) - oznacza, że okres funkcji sin jest "a" razy mniejsza.
(-a*sin) - oznacza obrót funkcji sin względem osi (oy), argumenty przeciwne przyjmują te wartości co argumenty pierwotne i zmniejszenie jej "a" razy.
(sin - a) - oznacza przesunięcie wykresu funkcji sin w prawo o "a" jednostek
(sin+a) - oznacza przesunięcie funkcji sin w lewo o "a" jednostek


10.Twierdzenia

aTwierdzenie sinusów
Stosunki długości boków do sinusów kątów na przeciwko tych boków są sobie równe (mnożymy na krzyż parami).
b/sinW= c/sinJ = a/sinU
c*sinW = b*sinJ; c*sinU = a*sinJ; b*sinU = a*sinW

b)Twierdzenie cosinusa
Kwadrat długości boku (w naszym przypadku c²) jest równy sumie kwadratów w dwóch pozostałych boków (w naszym przypadku a²+b²) pomniejszony o podwójny iloczyn tych boków (w naszym przypadku 2*a*b) i cosinus kąta między nimi (w naszym przypadku cosU).
c²=a²+b²-2*a*b*cosU




c)Pole trójkąta trygonometria
Pole trójkąta jest równe iloczynowi długości dwóch jego boków i sinusowi kąta między tymi bokami.
P=1/2*a*b*sin

Do góry Strona Główna  Moja matma Moja choroba